主题
理解向量
向量具有维度和方向。 例如，下图以箭头形式，在笛卡尔坐标系中描绘了一个二维向量 \vec{a}。
向量 \vec{a} 的头部位于点 (a_1, a_2)。 x 坐标值为 a_1，y 坐标值为 a_2。这些坐标也被称为向量的分量。
相似度
可以使用若干数学公式来判断两个向量是否相似。 其中最直观、最易于可视化和理解的是余弦相似度。 考虑下面展示三组图形的图片：
当向量 \vec{A} 和 \vec{B} 指向彼此靠近的方向时（如第一张图），它们被视为相似。 当它们彼此垂直指向时被视为无关，当它们彼此相背指向时则被视为相反。
它们之间的夹角 \theta 是衡量其相似度的良好指标。 那么夹角 \theta 该如何计算呢？
我们都熟悉勾股定理。
那么当 a 与 b 之间的夹角不是 90 度时呢？
这时就轮到余弦定理登场了。
.余弦定理 a^2 + b^2 - 2ab\cos\theta = c^2
下图以向量图展示了这一方法：
该向量的模长用其分量定义为：
.模长 \vec{A} * \vec{A} = ||\vec{A}||^2 = A_1^2 + A_2^2
两个向量 \vec{A} 与 \vec{B} 之间的点积，用其分量定义为：
.点积 \vec{A} * \vec{B} = A_1B_1 + A_2B_2
用向量的模长与点积改写余弦定理，得到如下结果：
.向量形式的余弦定理 ||\vec{A}||^2 + ||\vec{B}||^2 - 2||\vec{A}||||\vec{B}||\cos\theta = ||\vec{C}||^2
用 ||\vec{B} - \vec{A}||^2 替换 ||\vec{C}||^2，得到如下结果：
.仅以 \vec{A} 和 \vec{B} 表示的向量形式余弦定理
||\vec{A}||^2 + ||\vec{B}||^2 - 2||\vec{A}||||\vec{B}||\cos\theta = ||\vec{B} - \vec{A}||^2
.余弦相似度 similarity(vec{A},vec{B}) = \cos(\theta) = \frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{||\vec{A}\||\cdot||\vec{B}||
这个公式适用于高于 2 或 3 的维度，尽管很难直观想象。不过，它在一定程度上是可以被可视化的。 在 AI/ML 应用中，向量拥有数百甚至数千个维度是很常见的。
下面展示了在高维空间中利用向量分量的相似度函数。 它借助求和数学记号，把先前给出的模长与点积的二维定义扩展到 N 维。
.以向量分量表示的余弦相似度 similarity(vec{A},vec{B}) = \cos(\theta) = \frac{ \sum_{i=1}^{n} {A_i B_i} }{ \sqrt{\sum_{i=1}^{n}{A_i^2} \cdot \sum_{i=1}^{n}{B_i^2}}
这就是向量库简单实现中所使用的关键公式，可在 SimpleVectorStore 实现中找到——仅适用于测试和演示目的。